如果我们要阐明因果关系, 且对照实验不可行, 我们可以考虑观察性实验.

1 潜在结果下的因果效应和选择偏差

对单元 ${\displaystyle i(i=1,\cdots ,n)}$, 我们有处理前协变量 ${\displaystyle X_i}$, 指示是否处理的变量 ${\displaystyle Z_i}$, 观测结果 ${\displaystyle Y_i}$ (${\displaystyle Y_i(1),Y_i(0)}$). 假设 $$\{X_i,Z_i,Y_i(1),Y_i(0){\}}_{i=1}^n\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }\{X,Z,Y(1),Y(0)\}.$$ 这样我们去掉下标 ${\displaystyle i}$, 定义 ${\displaystyle \tau =\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]}$, 以及两个组$$\begin{array}{rl}& {\tau }_{\mathrm{T}}=\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)|Z=1],{\tau }_{\mathrm{C}}=\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)|Z=0].\end{array}$$
根据 (1.1), $$\begin{array}{rl}{\tau }_{\mathrm{T}}& =\mathbb{E}(Y|Z=1)-\mathbb{E}(Y(0)|Z=1),\\ {\tau }_{\mathrm{C}}& =\mathbb{E}(Y(1)|Z=0)-\mathbb{E}(Y|Z=0).\end{array}$$ (注意和 (1.1) 比, 这里没有 CRE 的条件, 所以条件期望里不能完全化为 ${\displaystyle Y}$. 我们把这里的 ${\displaystyle \mathbb{E}(Y(1)|Z=0),\mathbb{E}(Y(0)|Z=1)}$ 称为反事实(counterfactuals)).
定义简单均值之差^[1] $$\begin{array}{rl}{\tau }_{\mathrm{PF}}& =\mathbb{E}(Y|Z=1)-\mathbb{E}(Y|Z=0)\\ & =\mathbb{E}(Y(1)|Z=1)-\mathbb{E}(Y(0)|Z=0).\end{array}$$
这样,$$\begin{array}{rl}{\tau }_{\mathrm{PF}}-{\tau }_{\mathrm{T}}& =\mathbb{E}[Y(0)|Z=1]-\mathbb{E}[Y(0)|Z=0],\\ {\tau }_{\mathrm{PF}}-{\tau }_{\mathrm{C}}& =\mathbb{E}[Y(1)|Z=1]-\mathbb{E}[Y(1)|Z=0]\end{array}$$ 通常不是 ${\displaystyle 0}$, 它们可以用来量化选择偏差.
在 2.7节 中, 我们在 CRE 中假定 ${\displaystyle Z\perp \perp \{Y(1),Y(0)\}}$, 则 ${\displaystyle {\tau }_{\mathrm{PF}}={\tau }_{\mathrm{T}}={\tau }_{\mathrm{C}}=\tau }$.
从上面的讨论看出, 随机化最主要的好处是平衡潜在结果在两个组中的分布, 这比起观测协变量的平衡要远远更强. 如果没有随机化, 选择偏差可能会很大. 这便是观察性实验本质的难点所在.

2 因果效应非参数检验的充分条件

2.1 识别

观察性实验的因果推断很有挑战, 它依赖很强的假设. 我们可以用处理前协变量的信息, 假设$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Y(0)|Z=1,X]& =\mathbb{E}[Y(0)|Z=0,X],\\ \mathbb{E}[Y(1)|Z=1,X]& =\mathbb{E}[Y(1)|Z=0,X].\end{array}$$